初中数学中，动点问题一直热门考点，而且动点问题也是学习的一个难点，在三角形、矩形、正方形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并且对这些点在运动变化的过程中，存在着等量关系，变量关系，以及对图形的特殊状态、图形间的特殊关系进行研究考查，具有较强的综合性。常见的题型是：动态几何题是指随着几何图形中某一个（或几个）元素的运动，导致问题结论改变或不变的几何题。今天我们一起来学习一下全等三角形中的动点问题。方法指导解决动点问题常见的答题思路是：解这类题时要善于抓住以下三个特点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论起到重要作用；(2)在图形变化前后，明确哪些关系发生变化，哪些关系没有发生变化，变化前的等角、等线段在变化后是否还存在；(3)几种变化图形之间，说理思路存在内在联系，变化后的说理思路可模仿与借鉴变化前的说理过程，变化后的结论有时发生变化，有时不发生变化.经典考题1．（秋高安市期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，6），点C在x轴上运动（不与点A重合），点D在y轴上运动（不与点B重合），当以点C、O、D为顶点的三角形与△AOB全等时，则点D的坐标为_______．本题主要考查了全等三角形的判定以及坐标与图形性质，解决问题的关键是依据点D的不同位置进行分类讨论.分三种情况讨论：当点C在x轴负半轴上，点D在y轴负半轴上时，△AOB≌△COD，∴DO＝BO＝6，∴D（0，﹣6）；当点C在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上时，△AOB≌△DOC，∴DO＝BO＝3，∴D（0，3）；当点C在x轴的正半轴上，点D在y轴负半轴上时，△AOB≌△DOC，∴DO＝BO＝3，∴D（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣6）或（0，﹣3）或（0，3）2．（秋慈利县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出PC⊥PQ；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝20/7，t＝7/4．3．（秋封开县期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．：（1）由非负数的性质，可得方程组m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0，解得：n＝3，m＝6，∴OA＝6，OB＝3；（2）分为两种情况：①当P在线段OA上时，AP＝t，PO＝6﹣t，∴△BOP的面积S＝1/2×（6﹣t）×3＝9﹣3/2t，∵若△POB的面积不大于3且不等于0，∴0＜9﹣3/2t≤3，解得：4≤t＜6；②当P在线段OA的延长线上时，如图，AP＝t，PO＝t﹣6，∴△BOP的面积S＝1/2×（t﹣6）×3＝3/2t﹣9，∴0＜3/2t﹣9≤3，解得：6＜t≤8；即t的范围是4≤t≤8且t≠6；（3）当OP＝OB＝3时，分为两种情况（如图）：第一个图中t＝3，第二个图中AP＝6+3＝9，即t＝9；即存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．4．（秋越秀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为（6，0）、（0，6），P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM＝ON，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．：（1）结论：PM＝PN，PM⊥PN．理由如下：如图1中，连接OP．∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），∴OB＝OA＝6，∠AOB＝90°，∵P为AB的中点，∴OP＝1/2AB＝PB＝PA，OP⊥AB，∠PON＝∠PAM＝45°，∴∠OPA＝90°，在△PON和△PAM中，ON=AM,∠PON＝∠PAM，OP=AP.∴△PON≌△PAM（SAS），∴PN＝PM，∠OPN＝∠APM，∴∠NPM＝∠OPA＝90°，∴PM⊥PN，PM＝PN．（2）结论：OD＝AE．理由如下：如图2中，作AG⊥x轴交OP的延长线于G．∵BD⊥OP，∴∠OAG＝∠BOD＝∠OFD＝90°，∴∠ODF+∠AOG＝90°，∠ODF+∠OBD＝90°，∴∠AOG＝∠DBO，∵OB＝OA，∴△DBO≌△GOA，∴OD＝AG，∠BDO＝∠G，∵∠BDO＝∠PEA，∴∠G＝∠AEP，在△PAE和△PAG中，∠G＝∠AEP，∠PAE＝∠PAG，AP=AP.∴△PAE≌△PAG（AAS），∴AE＝AG，∴OD＝AE．5．（秋巴南区期末）小王需要用不超过1小时的时间从A地坐出租车出发去B地．正常情况下（不堵车），该地出租车行驶的速度为60千米每小时，收费标准是3千米以内（含3千米）路程收费10元，超过3千米后的路程按每千米1.2元收费；若遇堵车且使其车速在30千米每小时以下，则出租车还要加收堵车费，堵车费标准是3千米以内（含3千米）路程不收堵车费，超过3千米后收取每分钟1.5元的堵车费（时间按整数算，如3.1分钟视为4分钟），如图，A、B两地之间有两条路线A﹣D﹣C﹣F﹣B与A﹣D﹣E﹣F﹣B．已知AC⊥CB，ED⊥AC，垂足为D；EF⊥CB，垂足为F．EF＝6千米，FB＝5.8千米，AD＝DE＝24千米．（1）求证：路线A﹣D﹣C﹣F﹣B与A﹣D﹣E﹣F﹣B的路程相等；（2）已知小王选择A﹣D﹣C﹣F﹣B路线去B地．①正常情况下，小王到达B地后共需要支付多少车费？②当出租车行驶到点D处时，发现路线D﹣C﹣F﹣B堵车使车速变为a（0＜a＜30）千米每小时，于是小王把路线变为D﹣E﹣F﹣B，在路线D﹣E上，出租车车速变为3a千米每小时；在路线E﹣F上，出租车车速变为2a千米每小时；在路线F﹣B上，出租车车速变为a千米每小时．到达B地后小王正好用了1小时时间，求小王共需要支付的车费．（1）证明：连接DF，如图所示：∵AC⊥CB，ED⊥AC，EF⊥CB，∴DE∥BC，EF∥CD，∴∠EDF＝∠CFD，∠EFD＝∠CDF，在△EFD和△CDF中，∠EDF＝∠CFD，DF=FD,∠EFD＝∠CDF，∴△EFD≌△CDF（ASA），∴DE＝CF，EF＝CD，∴路线A﹣D﹣C﹣F﹣B与A﹣D﹣E﹣F﹣B的路程相等；（2）解：①由（1）得：DE＝CF，EF＝CD，∵EF＝6千米，FB＝5.8千米，AD＝DE＝24千米，∴AD+DC+CF+FB＝24+6+24+5.8＝59.8（千米），∴路线A﹣D﹣C﹣F﹣B的路程是59.8千米，∵10+（59.8﹣3）×1.2＝78.16，∴正常情况下，小王到达B地后共需要支付78.16元车费；②由题意得：24/60+24/3a+6/2a+5.8/a=1，解得：a＝28，∴2a＝56，3a＝84，∴在路线D﹣E上，出租车车速变为84千米每小时；在路线E﹣F上，出租车车速变为56千米每小时；在路线F﹣B上，出租车车速变为28千米每小时；∵28＜30，56＞30，84＞30，∴只有在路线F﹣B上才有堵车费，∵5.8/28×60≈12.4（分钟），∴78.16+13×1.5＝97.66（元），∴小王共需要支付97.66元车费．反思与小结从上面的问题中可以看出，在解答动点问题时，还需要特别注意几点：1.特别注意分类讨论；2.随着图形动态的变化，其对应边与对应角也在变化。尤其是分类讨论的情况，在以后的学习中，经常会遇到，这是中学数学学习的重要数学思想之一，希望同学们能够掌握，把动点问题通过习题，总结出自己的解题思路，形成自己的解题方法和解题技巧，更好的学习。
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