模型法破解一类中考中考压轴题老张教育新

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图形存在问题在各地中考中屡见不鲜,常常作为中考数学的压轴题.这类问题常常以图形的变化或图形上点的运动为主线，要求我们判断和说明符合某一结论的现象是否存在.解答这类问题，可首先假设这种现象存在，再考虑利用化“动”为“静”的策略，构造方程关系式或函数关系式，进行判断和说明.下面举例说明如何利用模型法破解特殊三角形存在性问题。类型1、等腰三角形的存在问题“两圆一线”模型：在平面直角坐标系中遇到等腰三角形的相关问题后，通常是以顶点作为分类标准，这样就可以构造辅助圆来解决问题。比如下图中，确定一点M，使三角形ABM为等腰三角形，处理方法如下：当以点A为顶点时，M点的轨迹就是以点A为圆心，AB长为半径的圆，然后根据约束条件来求解；当以点B为顶点时，M点的轨迹就是以点B为圆心，AB长为半径的圆上，然后根据约束条件来求解；当以点M为顶点时，点M的轨迹就在线段AB的垂直平分线上，然后根据约束条件来求解。如：已知：定点A(2，1),B(6，4)和动点M（m，0）,可通过“两圆一线”模型确定存在等腰三角形ABM例1（秋江阴市期中）已知：如图1：射线MN⊥AB于点M，点C从M出发，以1cm/s的速度沿射线MN运动，AM＝1，MB＝4，设运动时间为ts，（1）当△ABC为等腰三角形时，求t的值；（2）当△ABC为直角三角形时，求t的值；（3）点C在运动的过程中，若△ABC为钝角三角形，则t的取值范围是_______．（1）借助“两圆一线”模型分析探究动点C的位置，分CB＝AB、AB＝AC和AC＝BC三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可；（2）根据勾股定理列式计算；（3）由②的结论结合图形解答即可；（1）当CB＝AB时，在Rt△MCB，BC＝5，BM＝4，由勾股定理得：MC＝3，则t＝3s；当AB＝AC时，在Rt△MCA，AM＝1，AC＝5，由勾股定理得：MC＝2√6，则t＝2√6s；当AC＝BC时，C在AB的垂直平分线上，与条件不合；∴当t＝3s或2√6s时，△ABC为等腰三角形；（2）∵由题意∠ACB＝90°时，∴AC^2+BC^2＝AB^2，设CM＝x，在Rt△MCB中由勾股定理得：BC^2＝x^2+4^2，在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC^2＝x^2+1^2，∴x^2+4^2+x^2+1^2＝5^2，解得x＝2，∴t＝2s；（3）∵当t＝2时，△ABC为直角三角形，∴0＜t＜2时，△ABC为钝角三角形；故答案为：0＜t＜2；本题属于三角形综合题，考查了勾股定理的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．例2（秋慈利县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数y＝8/x在第一象限内的图象交于点B，作BD⊥x轴于点D，OD＝2．（1）求直线AB的函数解析式；（2）设点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，直接写出点P的坐标；（3）设M点是y轴上的点，且△MBC为等腰三角形，求M点的坐标．（1）由BD⊥x轴，OD＝2，即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；（2）由点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，可求得CP的长，继而求得点P的坐标．；（3）借助“两圆一线”模型分析探究动点M的位置，分类讨论：以BC为底和以BC为腰两种情况来解答．：（1）∵BD⊥x轴，OD＝2，∴点D的横坐标为2，将x＝2代入y＝8/x，得y＝4，∴B（2，4），设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C（0，2）、B（2，4）代入y＝kx+b得b=2,2k+b=4，∴k=1,b=2，∴直线AB的函数解析式为y＝x+2；（2）∵点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，B（2，4），即S△PBC＝1/2CP×2＝6，∴CP＝6，∵C（0，2），∴P（0，8）或P（0，﹣4）．（3）∵B（2，4），C（0，2），∴BC＝2．①当BM＝BC时，点B是线段MC垂直平分线上的点，此时M（0，6）；②当MC＝BC＝2√2时，M′（0，2+2√2），或M″（0，2﹣2√2）．③当BM＝BC时，M（0，4）．综上所述，满足条件的点M的坐标是（0，6）或（0，2+2√2）或（0，2﹣2√2）或M（0，4）．此题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．练习1.（秋易门县期中）如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；（3）在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出E点坐标；如果不存在，请说明理由．（1）y＝﹣x^2+3x+4；抛物线y＝ax^2+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0），把A、B两点坐标代入上式，解得：a＝﹣1，c＝4，即可求解，（2）当t＝2时，m的最大值为4设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t^2+3t+4），Q（t，﹣t+4），则PQ＝﹣t^2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t^2+4t，即可求解；m＝﹣t^2+4t＝﹣（t﹣2）^2+4（0＜t＜4）．（3）存在．分EC＝BE、BC＝CE、BC＝BE分别求解即可．E（﹣4.0）或（4，0）或（0，0）或（4﹣4√2，0）或（4+2√2）．满分技法:等腰三角形的存在问题分解题策略1.假设结论成立；2.找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：①当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.3.计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解类型2、直角三角形的存在问题“一圆一线”模型：当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点做定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；例3（春罗山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝_____时，△ABP为直角三角形．首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，∴t＝4÷2＝2s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP^2＝3^2+（2t﹣4）^2，在Rt△BAP中，AB^2+AP^2＝BP^2，∴5^2+[3^2+（2t﹣4）^2]＝（2t）^2，解得t＝25/8s．综上，当t＝2s或25/8s时，△ABP为直角三角形．故答案为：2s或25/8s．例4.已知抛物线y＝x^2﹣x﹣2．（1）求抛物线顶点M的坐标；（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）将已知的抛物线解析式化为顶点坐标式，即可求出抛物线顶点M的坐标．（2）根据抛物线的解析式可求出A、B、C三点的坐标，进而可求出直线BM的解析式，已知了QN＝t，即N点纵坐标为﹣t，代入直线BM的解析式中，可求得Q点的横坐标即OQ得长，分别求出△OAC、梯形QNCO的面积，它们的面积和即为所求的四边形QNCO的面积，由此可求出S、t的函数关系式．（3）根据函数的图象及A、C的位置，可明显的看出∠APC不可能是直角，因此此题要分两种情况讨论：①∠PAC＝90°，设出点P的坐标，然后表示出AC2、PA2、PC2的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标；②∠PCA＝90°，解法同①．此题是二次函数的综合题，考查了二次函数顶点坐标及函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、直角三角形的判定、勾股定理等知识，要注意的是（3）题一定要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解．练习2.如图，正方形ABCO的边长为√5，O为原点，BC交y轴于点D，且D为BC边的中点，抛物线y＝ax2+bx+c经过B、C且与y轴的交点为E(0，10/3)：（1）求点C的坐标，并直接写出点A、B的坐标；（2）求抛物线的解析式及对称轴；（3）探索在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．（1）C（1，2），A（﹣2，1）、B（﹣1，3）．过C作CF⊥x轴于F，在Rt△OCF中，易证得∠OCF＝∠COD，则它们的正切值相同，可得CF＝2OF，再根据勾股定理即可求出OF、CF的长，由此可得C点的坐标；同理可求出A、B的坐标；若△PBC是直角三角形，存在三种情况：①∠PBC＝90°，则P点必为直线AB与抛物线对称轴的交点，可先求出直线AB的解析式，联立抛物线的对称轴方程即可求出P点的坐标；②∠PCB＝90°，则P点必为直线OC与抛物线对称轴的交点，方法同①；③∠BPC＝90°，可以BC为直径作圆，那么P点即为圆与抛物线对称轴的交点；可过D作抛物线对称轴的垂线，设垂足为M，连接DP，根据抛物线的对称轴即可得到DM的长，而DP是圆的半径即1/2BC长，在Rt△DPM中，即可用勾股定理求出PM的值，进而可求出P点的纵坐标，而P点横坐标与抛物线的对称轴的值相同，由此可得到P点的坐标．满分技法:探究直角三角形的存在性①先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；②找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：a．当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点做定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；b．当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；③计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边(表示线段时，注意代数式的符号)．再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标．真心真情真东西，讲究提供最新最实用的考试素材，原创不易，期待你的

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